有限群G是P群当且仅当G的阶是P的幂,根据同构对有限P群进行分类是有限P群研究的基本任务，但这是一项极其困难的任务，目前还远远没有解决,对有限幂零群的研究可以归结为对有限P群的研究,罗定理证明了有限P子群的结构对整个群的性质有很大的影响,有限群的研究是有限群论中的一个重要课题。
对称组s3有三个子组。p-子群是S3的p0=1阶子群，即{(1)}有三个sy low 2—-子群(p=2)。S3的sy low 3—-子群(p=3)中只有一个H4 = { 1 }，分别是H1={，}，H2={，}和H3={，}。Symmetricgroup，设X是一个集合(可以是无穷的)，X上的一个置换指双射:a: x → x .集合X上所有置换组成的族记为S，S在映射上的复合运算构成一个群。当X是有限集时，设X中的元素个数为N，那么群S称为N次对称群..n-等边的所有对称变换和对称变换的合成"？它的对称群称为二面体群，命名为2n个元素。
2p组只有两个等价类z2p和Dp (z6和D3)。因为4阶交错群中没有6阶元素，所以z6不可能，D3有3个2阶元素。反之，如果H是A4的六阶子群，则A4，，中仅有的三个二阶元素都在H中，D3有两个三阶元素，所以H中也有，所以可能设为(123)(124)使得H的六个元素固定。发现它不是封闭的乘法。
证明G是pn阶群，若P是素数，G必有P阶子群:任意元素的阶可除群的阶。现在群的阶是素数p，所以元素的阶不是1就是p . G中只有一个单位元素，其他元素的阶不等于1，所以都是p .取任意一个非单位元素，它的阶等于p，所以由其生成的G的循环子群的阶也是p，等于整个群G .所以G等于其任意一个非单位元素生成的循环群。证书。有限群G是P群当且仅当G的阶是P的幂。有限群的研究是有限群论中的一个重要课题。罗定理证明了有限P子群的结构对整个群的性质有很大的影响。对有限幂零群的研究可以归结为对有限P群的研究。霍尔(Hall，P .)20世纪30-50年代关于P群的一系列工作对P群的研究产生了深远的影响。根据同构对有限P群进行分类是有限P群研究的基本任务，但这是一项极其困难的任务，目前还远远没有解决。
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